已知圓軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為 的橢圓，其左焦點為F.若P是圓O上一點，連結(jié)PF，過原點作直線PF的垂線交直線于點Q.

   （1）求橢圓C的標準方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

   （2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

   （3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由（一、二、五中必做，其它學校選做）。.

 

 

 

 

 

解析:（1）因為  （2分）

則b=1，即橢圓C的標準方程為   （3分）

（2）因為P（1，1），所以

所以，所以直線OQ的方程為y= ―2x. （4分）

又Q在直線上，所以點Q（―2，4）  （5分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     即QP⊥OQ，

故直線PQ與圓O相切，   （6分）

（3）當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓P保持相切的位置關系.  （7分）

設，則

所以直線OQ的方程為  所以點Q    （10分）

所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

所以，即OP⊥PQ（P不與A、B重合），

故直線PQ始終與圓O相切.（13分）
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，點P（-1，1）為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，點F為其右焦點．過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準線l于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則（　�。�
A、a2=
13
2
B、a2=3
C、b2=
1
2
D、b2=2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點為F，若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的左準線l于點Q．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），
①求線段PQ的長；
②求證：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年周至二中二模理）已知直線交于A、B兩點，過A、B兩點的圓與拋物線在A（其中A點在y軸的右側(cè)）處有共同的切線.

   （1）求圓M的方程；

   （2）若圓M與直線y=mx交于P、Q兩點，O為坐標原點，求證：為定值.

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