Question

關(guān)于f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)，有下列命題：
①y=f（x）圖象關(guān)于直線x=-

5π

12

對(duì)稱
②y=f（x）圖象關(guān)于（-

π

6

，0）對(duì)稱；
③y=f（x）圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的連線與x軸的交點(diǎn)一定在y=f（x）的圖象上．
其中正確命題的序號(hào)有

 

．

Answer 1

分析：將x=-

5π

12

代入函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)中得到f（-

5π

12

）=-4為最值，可驗(yàn)證①正確；
將x=-

π

6

代入函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)中，得到f（-

π

6

）=0，進(jìn)而可得到圖象關(guān)于（-

π

6

，0）對(duì)稱，故②正確；
根據(jù)函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)是關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

+

kπ

2

，0）成中心對(duì)稱的圖形，進(jìn)而可得到相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)均關(guān)于其對(duì)應(yīng)的（-

π

6

+

kπ

2

，0）對(duì)稱，故連線必過(guò)點(diǎn)（-

π

6

+

kπ

2

，0），可驗(yàn)證③正確．

解答：解：①、將x=-

5π

12

代入函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)中得到
f（-

5π

12

）=4sin[2(-

5π

12

)+

π

3

]=-4，故x=-

5π

12

是y=f（x）的對(duì)稱軸，即①正確；
②、將x=-

π

6

代入函數(shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)中，得到f（-

π

6

）=4sin[2(-

π

6

)+

π

3

]=0，
故y=f（x）圖象關(guān)于（-

π

6

，0）對(duì)稱，故②正確；
③、因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4sin(2x+

π

3

)(x∈R)是關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

+

kπ

2

，0）對(duì)稱的圖形，故相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)均關(guān)于其對(duì)應(yīng)的（-

π

6

+

kπ

2

，0）對(duì)稱，從而兩點(diǎn)連線定過(guò)點(diǎn)（-

π

6

+

kπ

2

，0），故③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的基本性質(zhì)--對(duì)稱性．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握熟練程度和認(rèn)識(shí)深度．