Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₄=5，a₂+a₈=14，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2 an+3•b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

log2bn+1

}的前n項(xiàng)和；
（3）若c_n=a_n•（

2

） an+1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由已知條件得

bn+1

bn

=4n，由此利用累乘法能求出bn=2n(n-1)．
（2）由

1

log2bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

log2bn+1

}的前n項(xiàng)和．
（3）cn=(2n-3)•(

2

)2n-2=(2n-3)•2n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}滿足a₄=5，a₂+a₈=14，
∴

a1+3d=5 2a1+8d=14

，解得a₁=-1，d=2，
∴a_n=2n-3．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2 an+3•b_n．
∴

bn+1

bn

=4n，∴

b2

b1

=4，

b3

b2

=42，

b4

b3

=43，…，

bn

bn-1

=4n-1，
以上各式相乘，得

bn

b1

=4

n(n-1)

2

=2n(n-1)，
∵b₁=1，∴bn=2n(n-1)．…（4分）
（2）∵

1

log2bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{

1

log2bn+1

}的前n項(xiàng)和為：
1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴

1

log2b2

+

1

log2b3

+…+

1

log2bn+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（8分）
（3）∵a_n=2n-3，c_n=a_n•（

2

） an+1，
∴cn=(2n-3)•(

2

)2n-2=(2n-3)•2n-1，
∴Sn=-1+1•2+…+(2n-5)•2n-2+(2n-3)•2n-1，①
2S_n=-1•2+1•2²+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ，②
①-②，得-Sn=-1+2(2+22+…+2n-1)-（2n-3）•2ⁿ
=-1+2•

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-3）•2ⁿ
=（5-2n）•2ⁿ-5，
∴Sn=(2n-5)•2n+5．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法、裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．