Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；

(3)若方程f(x)＝c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，求證：f′>0.

 

Answer 1

（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）3（3）見解析

【解析】(1)【解析】
f′(x)＝2x－(a－2)－ (x>0)．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，得x> ；由f′(x)<0，得0<x< .

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

(2)【解析】
由(1)得，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>0，且f(x)的最小值f <0，即－a2＋4a－4aln <0.因?yàn)?/span>a>0，所以a＋4ln－4>0.

令h(a)＝a＋4ln－4，顯然h(a)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln －1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.

當(dāng)a>a0時(shí)，h(a)>0；當(dāng)0<a<a0時(shí)，h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數(shù)a＝3.

又當(dāng)a＝3時(shí)，f(3)＝3(2－ln3)>0，f(1)＝0，所以a＝3時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3.

(3)證明：因?yàn)?/span>x1、x2是方程f(x)＝c的兩個(gè)不等實(shí)根，由(1)知a>0.

不妨設(shè)0<x1<x2，則－(a－2)x1－alnx1＝c，－(a－2)x2－alnx2＝c.

兩式相減得－(a－2)x1－alnx1－＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，

即＋2x1－－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．

所以a＝.

因?yàn)?/span>f′＝0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，

故只要證> 即可，即證明x1＋x2> ，

即證明－＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)< ＋2x1－－2x2，

即證明ln <.設(shè)t＝ (0<t<1)．

令g(t)＝lnt－，則g′(t)＝.

因?yàn)?/span>t>0，所以g′(t)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，g′(t)＝0，

所以g(t)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

又g(1)＝0，所以當(dāng)t∈(0，1)，g(t)<0總成立．所以原題得證．