Question

設(shè)函數(shù)，若f（x）在處取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）存在使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求c的最小值．

Answer 1

解：（1）∵，定義域為（0，+∞），
∴．…（1分），
∵處取得極值，
∴…（2分）
即，解得，
∴所求的a，b的值分別為…（4分）
（ii）因在存在x_o，使得不等式f（x_o）-c≤0成立，
故只需c≥[f（x）]_min，
由==．…（6分）
f'（x）導(dǎo)數(shù)的符號如圖所示
∴f（x）在區(qū)間，[1，2]遞減；
遞增；…（7分）
∴f（x）在區(qū)間 上的極小值是．…（8分）
而，且，
又∵e³-16＞0，∴…（10分）
∴[f（x）]_min=f（2）…（11分）
∴，即c的最小值是…（12分）
分析：（1）由真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由取得極值的必要條件得，列出方程組進行求解；
（2）由f（x₀）-c≤0成立，轉(zhuǎn)化為c≥[f（x）]_min，再由導(dǎo)數(shù)的符號確定函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間端點處的函數(shù)值進行比較，求出函數(shù)的最小值．
點評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題，以及恒成立轉(zhuǎn)化問題，考查了分析及解決問題的能力．