【題目】已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列,公差為,為其前項和,且滿足.數(shù)列滿足,為數(shù)列的前項和.
(1)求;
(2)求;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2) ,;(3).
【解析】
(1)依據(jù)題設(shè)及等差數(shù)列的有關(guān)公式建立方程組,求出首項與公差;
(2)求出等差數(shù)列的通項公式,運(yùn)用裂項相消法求解;
(3)先將不等式中的參數(shù)分離出來,再分析探求右邊的解析式的值域.
(1)因為令,,得即,
解得;
(2)∵, ,
所以,
(3)①當(dāng)為偶數(shù)時,要使不等式恒成立,
即不等式恒成立.
因為,等號在時取得.
所以此時需滿足.
②當(dāng)為奇數(shù)時,要使不等式恒成立,
即需不等式恒成立.
因為是隨的增大而增大,
所以時,取得最小值-6.
此時需滿足.
綜合①、②可得的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司舉辦捐步公益活動,參與者通過捐贈每天的運(yùn)動步數(shù)獲得公司提供的牛奶,再將牛奶捐贈給留守兒童.此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn),公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益.據(jù)測算,首日參與活動人數(shù)為人,以后每天人數(shù)比前一天都增加,天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第天的水平,假設(shè)此項活動的啟動資金為萬元,每位捐步者每天可以使公司收益元(以下人數(shù)精確到人,收益精確到元).
(1)求活動開始后第天的捐步人數(shù),及前天公司的捐步總收益;
(2)活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓右頂點,過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于,兩點(異于),直線,分別交直線于,兩點. 求證:,兩點的縱坐標(biāo)之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,是某海灣旅游區(qū)的一角,其中,為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會決定在直線海岸和上分別修建觀光長廊和AC,其中是寬長廊,造價是元/米,是窄長廊,造價是元/米,兩段長廊的總造價為120萬元,同時在線段上靠近點的三等分點處建一個觀光平臺,并建水上直線通道(平臺大小忽略不計),水上通道的造價是元/米.
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項目,要求的面積最大,那么和的長度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點,是曲線上的任意一點,動點滿足
(1)求點的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點,在軸上是否存在定點(異于點),使得?若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右兩個焦點分別為,P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的點,軸,垂足為Q,,,的面積為.
(1)求橢圓F的方程:
(2)若M是橢圓上的動點,求的最大值,并求出取得最大值時M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方體的棱長為2,E、F、G分別為的中點,給出下列命題:
①異面直線EF與AG所成的角的余弦值為;
②過點E、F、G作正方體的截面,所得的截面的面積是;
③平面
④三棱錐的體積為1
其中正確的命題是_____________(填寫所有正確的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】人們常說的“幸福感指數(shù)”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo),常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示,該數(shù)越接近表示滿意度越高.為了解某地區(qū)居民的幸福感情況,隨機(jī)對該地區(qū)的男、女居民各人進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示:
幸福感指數(shù) | |||||
男居民人數(shù) | |||||
女居民人數(shù) |
(1)估算該地區(qū)居民幸福感指數(shù)的平均值;
(2)若居民幸福感指數(shù)不小于,則認(rèn)為其幸福.為了進(jìn)一步了解居民的幸福滿意度,調(diào)查組又在該地區(qū)隨機(jī)抽取對夫妻進(jìn)行調(diào)查,用表示他們之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的對數(shù),求的期望(以樣本的頻率作為總體的概率).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點在正方體的棱上(不含端點),給出下列五個命題:
①過點有且只有一條直線與直線,都是異面直線;
②過點有且只有一條直線與直線,都相交;
③過點有且只有一條直線與直線,都垂直;
④過點有無數(shù)個平面與直線,都相交;
⑤過點有無數(shù)個平面與直線,都平行;
其中真命題是____.
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