Question

如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120?，BC=AC=3，點(diǎn)D在線段AB上．
（1）若CD=

3

，求BD的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)E在線段DA上，且∠DCE=30?，問(wèn)：當(dāng)∠DCB取何值時(shí)，△CDE的面積最�。坎⑶蟪雒娣e的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，建立方程，即可求BD的長(zhǎng)；
（2）由正弦定理，計(jì)算CD，CE，可得△CDE的面積，利用三角函數(shù)可求最值．

解答：解：（1）在△CDB中，∠CBD=30?，BC=3，CD=

3

，
由余弦定理，得CD²=BC²+BD²-2CB•BD•cos30°，…（2分）
即BD2-3

3

BD+6=0，解得，BD=

3

或2

3

．…（5分）
（2）設(shè)∠DCB=α，0°≤α≤90°，
在△CDB中，由正弦定理，得

CD

sin∠CBD

=

BC

sin∠CDB

，
即CD=

BC•sin30°

sin(150°-α)

，
同理CE=

BC•sin30°

sin(120°-α)

，…（8分）
所以，S△CDE=

1

2

CE•CD•sin30°=

9

16sin(150°-α)sin(120°-α)

=

9

8 3 sin2(120°-α)+8sin(120°-α)cos(120°-α)

=

9

4 3 +8sin[(240°-2α)-60°]

=

9

4 3 +8sin2α

…（12分）
∵0°≤α≤90°，∴0°≤2α≤180°．
∴當(dāng)α=45°時(shí)，S_△CDE的最小值為

9

4( 3 +2)

=

9(2- 3 )

4

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．