Question

14．如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）證明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=$\frac{5}{4}$，OD′=2$\sqrt{2}$，求五棱錐D′-ABCFE體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線平行的性質(zhì)以菱形對角線垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)條件求出底面五邊形的面積，結(jié)合平行線段的性質(zhì)證明OD′是五棱錐D′-ABCFE的高，即可得到結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD
將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，
則D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，則AO=3，B0=OD=4，
∵AE=$\frac{5}{4}$，AD=AB=5，
∴DE=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∵EF∥AC，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{EH}{AO}$=$\frac{DH}{OD}$=$\frac{\frac{15}{4}}{5}$=$\frac{3}{4}$，
∴EH=$\frac{9}{4}$，EF=2EH=$\frac{9}{2}$，DH=3，OH=4-3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2$\sqrt{2}$，
∴滿足HD′²=OD′²+OH²，
則△OHD′為直角三角形，且OD′⊥OH，
又OD′⊥AC，AC∩OH=O，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱錐D′-ABCFE的高．
底面五邊形的面積S=$\frac{1}{2}×AC•OB$+$\frac{（EF+AC）•OH}{2}$=$\frac{1}{2}×6×4$+$\frac{（\frac{9}{2}+6）×1}{2}$=12+$\frac{21}{4}$=$\frac{69}{4}$，
則五棱錐D′-ABCFE體積V=$\frac{1}{3}$S•OD′=$\frac{1}{3}$×$\frac{69}{4}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{23\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷，以及空間幾何體的體積，根據(jù)線面垂直的判定定理以及五棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．本題的難點(diǎn)在于證明OD′是五棱錐D′-ABCFE的高．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．