Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+θcosx+sinθ，x∈[-，]，是否存在θ∈[-，]，使得f（x）的最小值是--cos（θ+），若存在，試求出θ，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：設(shè)cosx=t則f（x）=y=t²+θt+sinθ，t∈[-，1]
y=t²+θt+sinθ開口向上，對稱軸t=-，-∈[-，]
1當-∈[-，]即-≤θ≤1時
y_min=y（-）=-+sinθ=-+sinθ
由-+sinθ=--cos（θ+）=-+sinθ?θ²=2?θ=±
又-≤θ1∴此時θ=-
2當-∈[-，-]，即1＜θ≤時，
y關(guān)于t的函數(shù)在[-，1]上是增函數(shù)
y_min=y（-）=-θ+sinθ
-，，，，由-θ+sinθ=--cos（θ+）
?θ=?θ-∈（1，）合題意
∴存在θ=-，或θ=．
分析：令cosx=t將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，求出二次函數(shù)的對稱軸，討論對稱軸與定義域的關(guān)系，求出二次函數(shù)的最小值，列出關(guān)于θ的方程，求出θ．
點評：本題考查通過換元將三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，注意：換元要注意新變量的范圍；求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵是弄清對稱軸與給定區(qū)域的關(guān)系．