Question

12．如圖，平面α截三棱錐P-ABC得截面DEFG，設(shè)PA∥α，BC∥α．
（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；
（2）設(shè)PA=6，BC=4，PA與BC所成的角為60⁰，求四邊形DEFG面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DG∥EF，GF∥DE，由此能證明四邊形DEFG為平行四邊形．
（2）設(shè)DG=x（0＜x＜6），推導(dǎo)出DE=GF=$\frac{12-2x}{3}$，∠GDE=60°，四邊形DEFG面積S=DG•DE•sin60°，由此能求出四邊形DEFG面積取最大值．

解答 證明：（1）∵面α截三棱錐P-ABC得截面DEFG，PA∥α，BC∥α．
平面PAB∩截面DEFG=DG，
∴PA∥DG，PA∥EF，∴DG∥EF，
同理，GF∥DE，
∴四邊形DEFG為平行四邊形．
解：（2）設(shè)DG=x（0＜x＜6），
則$\frac{BG}{BP}=\frac{DG}{AP}=\frac{x}{6}$，∴$\frac{PG}{BP}=\frac{6-x}{6}=\frac{GF}{BC}=\frac{GF}{4}$，
∴DE=GF=$\frac{12-2x}{3}$，
∵PA∥DG，BC∥DE，PA與BC所成的角為60⁰，
∴∠GDE=60°，
∴四邊形DEFG面積S=DG•DE•sin60°=x•$\frac{12-2x}{3}$•sin60°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）²+3$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)x=3時，四邊形DEFG面積取最大值3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四邊形為平行四邊形的證明，考查四邊形的面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．