Question

已知函數(shù)f（x）=mx²-x+lnx．
（1）當(dāng)m=-1時，求f（x）的最大值；
（2）若在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)m＞0時，若曲線C：y=f（x）在點x=1處的切線l與C有且只有一個公共點，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最大值；
（2）在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，等價于2mx²-x+1＜0在（0，+∞）上有解，分類討論，可求m的取值范圍；
（3）求出切線方程為y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1，從而方程mx²-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上只有一解，分類討論，可求m的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=-1時，f（x）=-x²-x+lnx，
所以f′（x）=-2x-1+

1

x

=-

(2x-1)(x+1)

x

，
所以當(dāng)0＜x＜

1

2

，f′（x）＞0，當(dāng)x＞

1

2

，f′（x）＜0，
因此當(dāng)x=

1

2

時，f（x）_max=f（

1

2

）=-

3

4

-ln2．（3分）
（2）f′（x）=2mx-1+

1

x

=

2mx2-x+1

x

，
即2mx²-x+1＜0在（0，+∞）上有解．
①m≤0顯然成立；
②m＞0時，由于對稱軸x=

1

4m

＞0，故△=1-8m＞0，所以m＜

1

8

，
綜上，m＜

1

8

．（8分）
（3）因為f（1）=m-1，f′（1）=2m，所以切線方程為y-m+1=2m（x-1），即y=2mx-m-1，
從而方程mx²-x+lnx=2mx-m-1在（0，+∞）上只有一解．
令g（x）=mx²-x+lnx-2mx+m+1，則g′（x）=2mx-1-2m+

1

x

=

2mx2-x-2mx+1

x

=

(2mx-1)(x-1)

x

（10分）
所以1°m=

1

2

，g′（x）≥0，所以y=g（x）在x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）=0，所以mx²-x+lnx=2mx-m-1只有一解．（12分）
2°0＜m＜

1

2

，x∈（0，1），g′（x）＞0；x∈（1，

1

2m

），g′（x）＜0；x∈（

1

2m

，+∞）），g′（x）＞0，
由g（1）=0及函數(shù)單調(diào)性可知g（

1

2m

）＜0，
因為g（x）=mx[x-（2+

1

m

）]+m+lnx+1，取x=2+

1

m

，則g（2+

1

m

）＞0．
因此在（

1

2m

，+∞）），方程mx²-x+lnx=2mx-m-1必有一解，從而不符題意（14分）
3°m＞

1

2

，x∈（0，

1

2m

），g′（x）＞0；x∈（

1

2m

，1）），g′（x）＜0；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
同理在（0，

1

2m

），方程mx²-x+lnx=2mx-m-1必有一解，從而不符題意．（16分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．