已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,其中BC=2AB=2PA=6,M,N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點,如圖所示.
(1)求證:AN∥平面MBD;
(2)求異面直線AN與PD所成角的余弦值;
(3)求二面角M-BD-C的余弦值.

【答案】分析:(1)連接AC交BD于O,連接OM,可得OM∥AN,再利用直線與平面平行的判定定理進行證明,即可解決問題;
(2)如圖所示,以A為原點,建立空間直角坐標系A-xyz,寫出各點的坐標,,AN與PD的夾角就是異面直線AN與PD所成角,然后求出其余弦值.
(3)側(cè)棱PA⊥底面ABCD,可得平面BCD的一個法向量為,設平面MBD的法向量為m=(x,y,z),兩個法向量的夾角就是二面角M-BD-C,然后再求出其余弦值.
解答:(Ⅰ)證明:連接AC交BD于O,連接OM,
∵底面ABCD為矩形,
∴O為AC中點,(1分)
∵M、N為側(cè)棱PC的三等分點,
∴CM=MN,
∴OM∥AN,(3分)
∵OM?平面MBD,AN不屬于平面MBCD,
∴AN∥平面MBD.(4分)

(Ⅱ)如圖所示,以A為原點,建立空間直角坐標系A-xyz,
則A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2),
,(5分)
,(7分)
∴異面直線AN與PD所成角的余弦值為.(8分)

(Ⅲ)∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD,
∴平面BCD的一個法向量為,(9分)
設平面MBD的法向量為m=(x,y,z),
,并且
,
令y=1得x=2,z=-2,
∴平面MBD的一個法向量為m=(2,1,-2).(11分)
(13分)
由圖可知二面角M-BD-C的大小是銳角,
∴二面角M-BD-C大小的余弦值為.(14分)
點評:此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面的夾角問題,此題建立直角坐標系比較簡單,萬一找不到面面角,用向量法求解也是可以的,這種做題思想要記住,此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題,同學們要課下要多練習.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,側(cè)面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中點.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點,AE與BD交于O點,AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,E是線段PC上一點,PC⊥平面BDE.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAB.
(Ⅱ)若PA=4,AB=2,BC=1,求直線AC與平面PCD所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年山東省濟寧一中高三(上)期末數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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