Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(X)構(gòu)成的集合：
①方程有實(shí)數(shù)根；
②函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (滿足”
(I )若函數(shù)為集合M中的任一元素，試證明萬程只有一個(gè)實(shí)根_；
(II)   判斷函^是否是集合M中的元素，并說明理由；
(III)  “對(duì)于（II)中函數(shù)定義域內(nèi)的任一區(qū)間，都存在，使得”，請(qǐng)利用函數(shù)的圖象說明這一結(jié)論.

Answer 1

（Ⅰ）令，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞減
所以，使，即成立的至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
又由題設(shè)①知方程有實(shí)數(shù)根，
所以，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）由題意易知，，滿足條件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
令，
則，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
又在區(qū)間上連續(xù)，所以在上存在零點(diǎn)，
即方程有實(shí)數(shù)根，故滿足條件①，
綜上可知，；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，
而，
所以原式等價(jià)于，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
該等式說明函數(shù)上任意兩點(diǎn)和的連線段 （如圖所示），在曲線上都一定存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn) 處的切線平行于，根據(jù)圖象知該等式一定成立.

略