Question

已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R且e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調性；

(2)是否存在實數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）奇函數(shù)．增函數(shù)（2）存在實數(shù)t＝－

【解析】(1)∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函數(shù)，y＝－x是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)．由于f(x)的定義域為R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．

(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R恒成立

?f(x2－t2)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立

?x2－t2≥t－x對一切x∈R恒成立

?t2＋t≤x2＋x對一切x∈R恒成立

?2≤對一切x∈R恒成立

?2≤0?t＝－.

即存在實數(shù)t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立．