Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

OA

=（1，sinα），

OB

=（0，cosα），

OC

=（2，-sinα），點(diǎn)P滿(mǎn)足

AB

=

BP

．
（1）若O、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)，求tanα的值；
（2）記函數(shù)f（α）=

PB

•

CA

，求函數(shù)f（α）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)P（x，y），由

AB

=

BP

即可求得P（-1，2cosα-sinα），所以

OP

=(-1，2cosα-sinα)，而由O，P，C三點(diǎn)共線(xiàn)即可得到4cosα=3sinα，所以得到tanα=

4

3

；
（2）可由

OA

，

OB

，

OC

，

OP

的坐標(biāo)求出向量

PB

，

CA

的坐標(biāo)，然后進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并運(yùn)用二倍角的正余弦公式，兩角和的正弦公式求得f（α）=-

2

sin(2α+

π

4

)，所以根據(jù)正弦函數(shù)的最值求得f（α）的值域．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由已知條件得：（-1，cosα-sinα）=（x，y-cosα）；
∴

x=-1 y=2cosα-sinα

；
∴P（-1，2cosα-sinα）；
∴

OP

=(-1，2cosα-sinα)，

OC

=(2，-sinα)；
若O、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則

OP

，

OC

共線(xiàn)，并且存在-2使

OC

=-2

OP

；
∴-sinα=-4cosα+2sinα）；
∴4cosα=3sinα；
∴tanα=

4

3

；
（2）f（α）=（1，sinα-cosα）•（-1，2sinα）=-1+2sin²α-sin2α=-cos2α-sin2α=-

2

sin(

π

4

+2α)；
∴f（α）∈[-

2

，

2

]；
即f（α）的值域?yàn)閇-

2

，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：考查向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算，以及共線(xiàn)向量基本定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及二倍角的正余弦公式、兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的最值．