Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=1-

a

x2

，由于a∈R，分a=0，a＜0，a＞0三類研究函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）由（1）的結(jié)論，討論在哪些情況下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在（1，2）上符號(hào)恒正或者恒負(fù)即可．

解答：解：求導(dǎo)得：f′（x）=1-

a

x2

，
（1）f′（x）≥0，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=1，函數(shù)是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=1-

a

x2

＞0，故函數(shù)在（-∞，0）與（0，+∞）上都是增函數(shù)
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=1-

a

x2

＞0，得x＞

a

或x＜-

a

故函數(shù)在（-∞，-

a

）與（

a

，+∞）上都是增函數(shù)，在（-

a

，0）與（0，

a

）都是減函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)
由（1）知a≤0時(shí)，滿足題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在（

a

，+∞）上是增函數(shù)，在（0，

a

）是減函數(shù)，故當(dāng)

a

≤1或

a

≥2時(shí)，符合題意解得0＜a≤1或a≥4，
綜上，符合條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]∪[4，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題（1）屬于第一種類型．（2）屬于第二種題型．