Question

已知函數(shù)．
（1）當時，求在最小值；
（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；
（3）求證：（）．

Answer 1

（1）1   （2）

試題分析：（1）先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可可求在最小值；（2）先求導，由有正數(shù)解得到含有參數(shù)a的關(guān)于x的不等式有的解,在分類求出滿足條件的a，最后求并集即可.（3）用數(shù)學歸納法證明.
試題解析：（1），定義域為．
 
在上是增函數(shù)．
.                               4分
（2）因為
因為若存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.
即有的解 
當時，明顯成立 .
②當時，開口向下的拋物線，總有的解；
③當時，開口向上的拋物線，
即方程有正根.
因為，
所以方程有兩正根.
當時，；
，解得．
綜合①②③知：．
或： 
有的解 
即 
即  
，
（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當時，，即．
令，則有，   ．
，
．                                 14分
(法二)當時，．
，，即時命題成立．
設當時，命題成立，即 ．
時，．
根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．
因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立．