17.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$,則下列命題中正確命題的序號(hào)是①②④.
①f(x)是偶函數(shù);
②f(x)的值域是[$\sqrt{2}$,2];
③當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),f(x)單調(diào)遞增;
④當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ±$\frac{π}{2}$(k∈Z)時(shí),f(x)=$\sqrt{2}$.

分析 由題意可得此分段函數(shù)的解析式,由函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷四個(gè)命題的真假,即可得解.

解答 解:對(duì)于①,由于f(-x)=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$=f(x),故正確;
對(duì)于②,由題意函數(shù)f(x)=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$=|sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$|+|sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}≥cos\frac{x}{2}}\\{2cos\frac{x}{2}}&{sin\frac{x}{2}<cos\frac{x}{2}}\end{array}\right.$,
所以:在x=$\frac{π}{2}$+kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)圖象位于最低點(diǎn),
該函數(shù)取得最小值$\sqrt{2}$,當(dāng)且僅當(dāng)x=kπ(k∈Z)時(shí),函數(shù)圖象位于最高點(diǎn)為2,故正確;
對(duì)于③,當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),$\frac{x}{2}$∈[0,$\frac{π}{4}$],可得cos$\frac{x}{2}$≥sin$\frac{x}{2}$,
由題意函數(shù)f(x)=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$=|sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$|+|sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$|=2cos$\frac{x}{2}$,
由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得:f(x)=2cos$\frac{x}{2}$,當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{2}$]時(shí),f(x)單調(diào)遞減,故錯(cuò)誤;
對(duì)于④,當(dāng)x=2kπ±$\frac{π}{2}$(k∈Z)時(shí),可得sinx=±1,可得:f(x)=$\sqrt{2}$.
反之,當(dāng)f(x)=$\sqrt{2}$時(shí),函數(shù)圖象位于最低點(diǎn),x=$\frac{π}{2}$+2kπ(k∈Z),故正確;
故答案為:①②④.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的最值,函數(shù)圖象的運(yùn)用,由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì),并以由圖象研究出的結(jié)論判斷和函數(shù)有關(guān)的命題的真假,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象的交點(diǎn);
(2)在同一坐標(biāo)系中,畫出f(x),g(x)的草圖,根據(jù)圖象
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②寫出這兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)區(qū)間.

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