Question

11．下列4個命題，其中正確的命題是②③
①“$|\overrightarrow a|-|\overrightarrow b|\;＜\;|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$”是“$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$不共線”的充要條件；
②已知向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$是空間兩個向量，若$|\overrightarrow a|\;=3，\;\;|\overrightarrow b|\;=2，\;\;|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\;=\sqrt{7}$，則向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$的夾角為60°；
③拋物線y=-x²上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是$\frac{4}{3}$；
④與兩圓A：（x+5）²+y²=49和圓B：（x-5）²+y²=1都外切的圓的圓心P的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量模長的關(guān)系以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
②根據(jù)向量模長的公式進(jìn)行求解即可，
③求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線法進(jìn)行求解，
④利用圓與圓外切的定義以及雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：①若$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$同向共線，則“$|\overrightarrow a|-|\overrightarrow b|\;＜\;|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$”成立，即充分性不成立，故①錯誤，
②已知向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$是空間兩個向量，若$|\overrightarrow a|\;=3，\;\;|\overrightarrow b|\;=2，\;\;|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\;=\sqrt{7}$，
則平方得|$\overrightarrow{a}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=7，
即9-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4=7，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{3}{2×3}=\frac{1}{2}$，
則向量$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$的夾角為60°；故②正確，
③先對y=-x²求導(dǎo)得y′=-2x，令y′=-2x=-$\frac{4}{3}$，易得切點的橫坐標(biāo)為x₀=$\frac{2}{3}$，
即切點P（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{9}$），利用點到直線的距離公式得d=$\frac{|4×\frac{2}{3}+3×（-\frac{4}{9}）-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$．
則拋物線y=-x²上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是$\frac{4}{3}$；故③正確，
④解：設(shè)所求圓P的半徑為R，
∵與圓A：（x+5）²+y²=49和圓B：（x-5）²+y²=1都外切
∴|PA|=R+7，|PB|=R+1；∴|PA|-|PB|=6，
∴由雙曲線的定義知，圓心P的軌跡是以點A，B為焦點的雙曲線的右支，
∴a=3，c=5；∴b=4；圓心P的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$=1（x＞0），故④錯誤，
故答案為：②③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．