Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，且an+1=

an+an+2

2

(n∈N*)
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an + an+1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an+an+2

2

(n∈N*)，知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由a₁=1，a₂=2，知公差d=1，首項(xiàng)a₁=1，由此能求出a_n．
（2）由bn=

1

an + an+1

(n∈N*)，=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

．知Sn=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an + an+1

=

2

-

1

+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

，由此能求出
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵an+1=

an+an+2

2

(n∈N*)
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₁=1，a₂=2，
∴公差d=1，首項(xiàng)a₁=1，
∴a_n=n．
（2）∵bn=

1

an + an+1

(n∈N*)，
=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

．
∴Sn=

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an + an+1

=

1

1 + 2

+

1

2 + 3

+…+

1

n + n+1

=

2

-

1

+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．