Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B分別是該橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值為-$\frac{11}{5}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點(diǎn)和A，B的坐標(biāo)，以及直線AB的方程，設(shè)出P（m，n），求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐標(biāo)表示，由m²+n²的幾何意義：表示原點(diǎn)與AB上的點(diǎn)的距離的平方，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到所求最小值．

解答 解∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴A（-2，0），B（0，1），F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
可得AB的方程為x-2y+2=0，
設(shè)P（m，n），
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n）•（$\sqrt{3}$-m，-n）
=m²+n²-3，
由m²+n²的幾何意義：表示原點(diǎn)與AB上的點(diǎn)的距離的平方．
可得原點(diǎn)到直線AB的距離取得最小，且為$\frac{|2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
即有m²+n²-3的最小值為$\frac{4}{5}$-3=-$\frac{11}{5}$．
故答案為：-$\frac{11}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查向量的坐標(biāo)表示及最值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意m²+n²的幾何意義的合理運(yùn)用，屬于中檔題．