考點:一階線性差分方程的數(shù)學模型
專題:選作題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)先根據(jù)△an=2,根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷{△an}為等差數(shù)列,即可求出a2013;
(2)根據(jù)題中的定義可把已知轉化為△an+1-△an-△an+1+an=-2n,整理可得an+1=2an+2n,利用遞推關系及a1=1計算a2,a3,a4,然后進行猜想an,再利用數(shù)學歸納法進行證明.
解答:
解:(1)∵△an=2,∴d=2,
∵a1=1,∴a2013=1+2(2013-1)=4015;
(2)∵△2an-△an+1+an=-2n,即△an+1-△an-△an+1+an=-2n,
即△an-an=2n,∴an+1=2an+2n,∵a1=1,
∴a2=4=2×21,a3=12=3×22,a4=32=4×23,猜想:an=n•2n-1,
證明:。┊攏=1時,a1=1=1×20;ⅱ)假設n=k時,ak=k•2k-1;
n=k+1時,ak+1=2ak+2k=k•2k+2k=(k+1)•2(k+1)-1結論也成立,
∴由ⅰ)、ⅱ)可知,an=n•2n-1.
故答案為:(1)4015;(2)an=n×2n-1.
點評:本小題以新定義為載體主要考查等差數(shù)列的定義的基礎知識,考查觀察、猜想并進行證明的數(shù)學思想方法.還考查了把新的定義轉化為利用所學知識進行求解的能力.