Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，且a1 ， a2 ， a4+2成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及其前n項和Sn；
（2）設(shè) ，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1=1，且a1，a2，a4+2成等比數(shù)列．

∴ =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d=2或﹣1．

其中d=﹣1時，a2=0，舍去．

∴d=2，可得an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

Sn= =n2．

（2）解： = ．

∴當n為偶數(shù)時， = =16．當n為奇數(shù)時， = = ．

∴數(shù)列{bn}的奇數(shù)項是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以8為首項，16為公比的等比數(shù)列．

∴數(shù)列{bn}的前2n項和T2n=（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）

= +

= （16n﹣16﹣n）．

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=1，且a1，a2，a4+2成等比數(shù)列．可得： =a1（a4+2），即（1+d）2=1×（1+3d+2），解得d．經(jīng)過驗證可得d，再利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．（2） = ．當n為偶數(shù)時， = =16．當n為奇數(shù)時， = = ．可得數(shù)列{bn}的奇數(shù)項是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以8為首項，16為公比的等比數(shù)列．利用求和公式即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．