Question

【題目】（本小題滿分16分）設數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足:,且數(shù)列的前

n項和為.

(1) 求的值；

(2) 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(3) 抽去數(shù)列中的第1項，第4項，第7項，……，第3n-2項，……余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，若的前n項和為，求證：.

Answer 1

【答案】解:(1)由題意得:;………………1分

當n=1時,則有:解得:;

當n=2時,則有:,即,解得:;

………………2分

(2)由①得:

② ………………3分

② - ①得:,

即:即:; ……………5分

,由知:

數(shù)列是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.…………………………………8分

(3)由(2)知:,即……………………9分

當n≥2時,對n=1也成立,

即(n………………………………………………………….…10分

數(shù)列為,它的奇數(shù)項組成以4為首項、公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項組成以8為首項、公比為8的等比數(shù)列；…………………11分

當n="2k-1"時,

…………………14分

當n="2k"時,

.……………………………………………………………16分

【解析】

(1)給n取值求出的值.(2)由題得數(shù)列是等比數(shù)列.(3)證明當n=2k-1 時,. 當n=2k 時,,綜合即得.

(1)由題意得: ;

當n=1時,則有: 解得: ;

當n=2時,則有: ,即,解得: ;

。

(2) 由 ① 得:

②

② - ①得: ,

即: 即:;

,由知:

數(shù)列是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.

(3)由(2)知: ,即，

當n≥2時, 對n=1也成立,

即(n，

∴數(shù)列為,它的奇數(shù)項組成以4為首項、公比為8的等比數(shù)列；

偶數(shù)項組成以8為首項、公比為8的等比數(shù)列；

∴當n=2k-1 時,

，

∴當n=2k 時,

，

，

.

.