Question

已知f（α）=

sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ 3π 2 )

cot(-α-π)sin(-π-α)

．
（1）化簡f（α）；
（2）若α是第三象限角，且cos（α-

3π

2

）=

1

5

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（1）把f（α）解析式的分子前兩項(xiàng)項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡，并利用余弦函數(shù)為偶函數(shù)進(jìn)行變形，第三項(xiàng)利用正切函數(shù)的周期性變形后，再根據(jù)利用誘導(dǎo)公式化簡，分母第一項(xiàng)根據(jù)余切函數(shù)的周期性及余切函數(shù)為奇函數(shù)進(jìn)行化簡，第二項(xiàng)利用正弦函數(shù)為奇函數(shù)化簡后，再利用誘導(dǎo)公式變形，分子分母約分后可得出最簡結(jié)果；
（2）把已知的等式中的角度變換后，利用誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)為偶函數(shù)進(jìn)行化簡，得到sinα的值，又α為第三象限角，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，代入第一問化簡后的解析式中即可求出值．

解答：解：（1）f（α）=

sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ 3π 2 )

cot(-α-π)sin(-π-α)

=

sinαcos(-α)tan( π 2 -α)

-cotα[-sin(π+α)]

=

sinαcosαcotα

-cotαsinα

=-cosα；（6分）

（2）∵cos（α-

3π

2

）=cos[-2π-（-

π

2

-α）]=cos（

π

2

+α）=-sinα=

1

5

，
∴sinα=-

1

5

，又α是第三象限角，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 6

5

，
則f（α）=-cosα=

2 6

5

．（12分）

點(diǎn)評：此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，以及三角函數(shù)的奇偶性，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式熟練掌握三角函數(shù)的奇偶性是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的靈活變換．