Question

【題目】在直角梯形ABCD中（如圖1），，，，，，點(diǎn)E在CD上，且，將沿AE折起，使得平面平面ABCE（如圖2），G為AE中點(diǎn)．

（Ⅰ）求四棱錐的體積；

（Ⅱ）在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使得平面ADE？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理得到平面ABCE，再根據(jù)椎體的體積公式計(jì)算可得結(jié)果；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交DB于點(diǎn)P，連接PC，可證得平面平面ADE，再根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可得平面ADE，最后根據(jù)平面幾何知識(shí)可求得比值.

（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>G為AE中點(diǎn)，，所以．

因?yàn)槠矫?/span>平面ABCE，平面平面，

平面ADE，所以平面ABCE．

在直角三角形ADE中，易求，

則，

所以四棱錐的體積．

（Ⅱ）在BD上存在點(diǎn)P，使得平面ADE且，

過(guò)點(diǎn)C作交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交DB于點(diǎn)P，連接PC，

如圖所示：

因?yàn)?/span>，平面ADE．平面ADE，所以平面ADE，

同理平面ADE，

又因?yàn)?/span>，所以平面平面ADE．

因?yàn)?/span>平面CFP，所以平面ADE．

所以在BD上存在點(diǎn)P，使得平面ADE．

因?yàn)樗倪呅?/span>AECF為平行四邊形．

所以，即，

故.

所以在BD上存在點(diǎn)P，使得平面ADE且.