Question

（2012•佛山一模）設(shè)n∈N^*，圓C_n：x²+y²=

R

2 n

（R_n＞0）與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，與曲線y=

x

的交點(diǎn)為N（

1

n

，yn），直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0）．
（1）用n表示R_n和a_n；
（2）求證：a_n＞a_n+1＞2；
（3）設(shè)S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，求證：

7

5

＜

Sn-2n

Tn

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）確定N、M的坐標(biāo)，利用N在圓C_n：x²+y²=

R

2 n

上，直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0），即可用n表示R_n和a_n；
（2）利用1+

1

n

＞1+

1

n+1

＞1，

1+ 1 n

＞

1+ 1 n+1

＞1，即可證得結(jié)論；
（3）先證當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

，進(jìn)而可得1+(

2

-1)×

1

n

≤

1+ 1 n

＜1+

1

2n

，從而2+

2

×

1

n

≤an=1+

1

n

+

1+ 1 n

＜2+

3

2n

，求和即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵N（

1

n

，yn）在曲線y=

x

上，∴N（

1

n

，

1 n

）
代入圓C_n：x²+y²=

R

2 n

，可得Rn=

n+1

n

，∴M（0，

n+1

n

）
∵直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0）．
∴

1 n -0

1 n -an

=

1 n - n+1 n

1 n -0

∴an=1+

1

n

+

1+ 1 n

（2）證明：∵1+

1

n+1

＞1，

1+ 1 n+1

＞1
∴an+1=1+

1

n+1

+

1+ 1 n+1

＞2
∵1+

1

n

＞1+

1

n+1

，

1+ 1 n

＞

1+ 1 n+1

∴an=1+

1

n

+

1+ 1 n

＞1+

1

n+1

+

1+ 1 n+1

∴a_n＞a_n+1＞2；
（3）證明：先證當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

事實(shí)上，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

等價(jià)于[1+(

2

-1)x]2≤1+x≤(1+

x

2

)2
等價(jià)于1+2(

2

-1)x+(3-2

2

)x2≤1+x≤1+x+

x2

4

等價(jià)于(2

2

-3)x+(3-2

2

)x2≤0≤

x2

4

后一個(gè)不等式顯然成立，前一個(gè)不等式等價(jià)于x²-x≤0，即0≤x≤1
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

∴1+(

2

-1)×

1

n

≤

1+ 1 n

＜1+

1

2n

∴2+

2

×

1

n

≤an=1+

1

n

+

1+ 1 n

＜2+

3

2n

（等號(hào)僅在n=1時(shí)成立）
求和得2n+

2

×Tn≤Sn＜2n+

3

2

Tn
∴

7

5

＜

Sn-2n

Tn

＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，證題的關(guān)鍵是證明當(dāng)0≤x≤1時(shí)，1+(

2

-1)x≤

1+x

≤1+

x

2

，屬于難題．