Question

（2012•臺(tái)州一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）若二面角C₁-AD-C的大小為60°，求AB₁與平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結(jié)A₁C交AC₁于點(diǎn)E，利用三角形中位線的性質(zhì)證明DE∥A₁B，利用線面平行的判定定理證明A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）找出二面角C₁-AD-C的平面角，作出AB₁與平面ADC₁所成角求出相關(guān)線段的長度，即可求得正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連結(jié)A₁C交AC₁于點(diǎn)E，則E是A₁C的中點(diǎn)．         …（2分）
連結(jié)DE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DE∥A₁B．…（4分）
∵DE?面ADC₁，A₁B?面ADC₁，
∴A₁B∥面ADC₁．        …（6分）
（Ⅱ）解：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．
∵C₁C⊥面ABC，∴C₁C⊥AD，
∴AD⊥面BCC₁B₁，…（8分）
∴∠C₁DC就是二面角C₁-AD-C的平面角，即∠C₁DC=60°．  …（9分）
∵AD⊥面BCC₁B₁，∴面ADC₁⊥面BCC₁B₁．
過B₁作B₁H⊥C₁D于H，∴B₁H⊥面ADC₁，…（11分）
連結(jié)AH，則∠B₁AH就是AB₁與平面ADC₁所成的角．  …（12分）
設(shè)CD=1，則C1C=

3

， AB1=

5

，B1H=

3

，
∴sin∠B1AH=

B1H

AB1

=

3

5

=

15

5

，
即AB₁與平面ADC₁所成角的正弦值為

15

5

． …（14分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角、面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行的判定定理．