Question

已知f(x)=2lnx+

ax

x+1

(x＞0)．
（1）若a=-8，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），求證：f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-8時(shí)，f′(x)=

2

x

-

8

(x+1)2

=

2(x-1)2

x(x+1)2

≥0，由此得到f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）f′(x)=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(4+a)2+2

x(x+1)2

，由f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），知f′（x）=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，由此推導(dǎo)出f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2等價(jià)于

f(x)-2lnx

x

(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

，由此能夠證明f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

解答：（1）解：當(dāng)a=-8時(shí)，f（x）=2lnx-

8x

x+1

，x＞0，
則f′(x)=

2

x

-

8

(x+1)2

=

2(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
（2）證明：∵f′(x)=

2

x

+

a

(x+1)2

=

2x2+(4+a)2+2

x(x+1)2

，
∵f（x）在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f′（x）=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
則

x1+x2=- 4+a 2 ＞0 x1x2=1＞0 △=(4+a)2-16＞0

，
而f（x₁）+f（x₂）=2lnx₁+

ax1

x1+1

+2lnx₂+

ax2

x2+1

=2ln(x1x2)+a(

x1

x1+1

+

x2

x2+1

)
=2ln（x₁x₂）+a•

2x1x2+x1+x2

x1x2+x1+x2+1

=a，
∵

f(x)-2lnx

x

(x+1)=a，
∴f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2等價(jià)于

f(x)-2lnx

x

(x+1)≥

f(x)+2

x

-2=

f(x)-2(x-1)

x

，
也就是要證明：對(duì)任意x＞0，有l(wèi)nx≤x-1，
令g（x）=lnx-x+1，（x＞0），
由于g（1）=0，并且g′(x)=

1

x

-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=0，即g（x）≤0，
故f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

x

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．