Question

已知函數(shù)g（x）=

2

x

+lnx，f（x）=mx-

m-2

x

-lnx，m∈R．
（1）求函數(shù)g（x）的極值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值；
（2）化簡(jiǎn)f（x）-g（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為m的不等式，通過基本不等式求解最值，即可得到m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

令g'（x）＞0得：x＞2；令g'（x）＜0得：x＜2
又因?yàn)間（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
故g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
故g（x）_極小值=g（2）=1+ln2，無極大值．
（2）由（1），得f(x)-g(x)=mx-

m

x

-2lnx．∴(f(x)-g(x))′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在[1，∞）上為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0，在[1，∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等價(jià)于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

，{

2

x+ 1 x

}max=1∴m≥1．
∴mx²-2x+m≤0等價(jià)于m（1+x²）≤2x，
即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈(0，1]，m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．