Question

已知點(diǎn)列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x₁=a（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以
B_n為頂點(diǎn)的等腰三角形．
（1）求{y_n}的通項(xiàng)公式，且證明{y_n}是等差數(shù)列；
（2）試判斷x_n+2-x_n是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閥_n=+（n∈N），所以y_n+1-y_n=，得到{y_n}為等差數(shù)列；
（2）因?yàn)閤_n+1-x_n=2為常數(shù)，所以x₁，x₃，x₅，，x_2n-1及x₂，x₄，x₆，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，分別求出通項(xiàng)公式即可；
（3）存在，要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則|A_nA_n+1|=2，分n為奇數(shù)和偶數(shù)代入特值可求出a的值．
解答：解：（1）y_n=+（nÎN），y_n+1-y_n=，∴{y_n}為等差數(shù)列
（2）x_n+1-x_n=2為常數(shù)（6¢）∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1及x₂，x₄，x₆，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，
∴x_2n-1=x₁+2（n-1）=2n-2+a，x_2n=x₂+2（n-1）=2-a+2n-2=2n-a，
∴x_n=

（3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則|A_nA_n+1|=2，=2（），x_n+1-x_n=2（）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1，∴x_n+1-x_n=2（1-a）．
2（1-a）=2（）Þa=（n為奇數(shù)，0＜a＜1）（*）
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則（*）無(wú)解；
當(dāng)偶數(shù)時(shí)，x_n+1=n+a，x_n=n-a，
∴x_n+1-x_n=2a．
∴2a=2（），a=（n為偶數(shù)，0＜a＜1），取n=2，得a=，
若n≥4，則（*）無(wú)解．
綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為、、．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，靈活運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)的能力，以及利用數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的能力．