Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定義：設(shè)f′′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f′′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+5x+4，請回答下列問題．（1）求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)
（2）檢驗(yàn)函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論；
（3）寫出一個(gè)三次函數(shù)G（x），使得它的“拐點(diǎn)”是（1，3）（不要過程）

Answer 1

分析：第一問通過對函數(shù)f（x）二次求導(dǎo)可求出拐點(diǎn)的坐標(biāo)．第二問考查對稱，求出對稱點(diǎn)坐標(biāo)，代入驗(yàn)證即可；第三問是開放型題目，只要滿足條件即可．

解答：解：（1）依題意，得：f′（x）=3x²-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-2）
（2）設(shè)（x₁，y₁）與（x，y）關(guān)于（2，-2）中心對稱，并且（x₁，y₁）在f（x），所以就有

x1=4-x y1=-4-y

，
由y₁=x₁³-6x₁²+5x₁+4，得-4-y=（4-x）³-6（4-x）²+5（x-4）+4
化簡的：y=x³-6x²+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，-2）對稱．
三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐點(diǎn)”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是函數(shù)f（x）的對稱中心
（或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)）．
（3），G（x）=a（x-1）³+b（x-1）²+3（a≠0），或?qū)懗鲆粋�(gè)具體函數(shù)，如G（x）=x³-3x²+3x+2，或G（x）=x³-3x²+5x

點(diǎn)評：本題主考查函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱性．考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解題的能力．一般的，三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐點(diǎn)”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是函數(shù)f（x）的對稱中心（或者：任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù)）．