Question

正四棱柱ABCD-ABC₁D₁（底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直）底面邊長為1，高為2，M、N、P分別為線段AB、CD、C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：MC₁∥平面ANPA₁；
（2）求異面直線CD與MC₁所成角的大小的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接PA，先證明四邊形AMC₁P是平行四邊形，由此能夠證明MC₁∥平面ANPA₁．
（2）由CD∥AB，知∠C₁MB或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線CD與MC₁所成的角．由此能求出異面直線CD與MC₁所成角的正切值．

解答：解：（1）連接PA，
∵正四棱柱ABCD-ABC₁D₁中，M、P分別為線段AB、C₁D₁的中點(diǎn)，
∴AM

∥

.

PC₁，
∴四邊形AMC₁P是平行四邊形，
∴MC₁∥AP，
∵AP?平面ANPA₁，MC₁?平面ANPA₁，
∴MC₁∥平面ANPA₁．
（2）∵CD∥AB，所以∠C₁MB或其補(bǔ)角為導(dǎo)面直線CD與MC₁所成的角．
連接BC₁，∵AB⊥平面BCC₁B，∴AB⊥BC₁，
在Rt△MBC₁中，BC1=

4+1

=

5

，MB=

1

2

，
∴tan∠C1MB=

5

1 2

=2

5

，
故異面直線CD與MC₁所成角的大小的正切值為2

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的正切值的求法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與幾何體的線段長度關(guān)系，進(jìn)而解決線面平行與垂直問題，異面直線所成角等問題．