Question

20．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則下列四個命題：
①點P在直線BC₁上運動，三棱錐A-D₁PC的體積不變
②點P在直線BC₁上運動，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變
③點P在直線BC₁上運動，二面角P-AD₁-C的大小不變
④點P是平面ABCD上到點D和C₁距離相等的動點，則P的軌跡是過點B的直線．
其中的真命題是（　�。�

• A． ①③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①由正方體的性質可得：BC₁∥AD₁，于是BC₁∥平面AD₁C，可得直線BC₁上的點到平面AD₁C的距離不變，而△AD₁C的面積不變，即可判斷出結論．
②由①可知：直線BC₁上的點到平面AD₁C的距離不變，而AP的大小在改變，可得直線AP與平面ACD₁所成角的大小改變，即可判斷出正誤．
③由①可知：點P到平面AD₁C的距離不變，點P到AD₁的距離不變，即可判斷出二面角P-AD₁-C的大小是否改變．
④如圖所示，不妨設正方體的棱長為a，設P（x，y，0），利用|PD|=|PC₁|，利用兩點之間的距離公式化簡即可得出．

解答 解：①由正方體的性質可得：BC₁∥AD₁，于是BC₁∥平面AD₁C，因此直線BC₁上的點到平面AD₁C的距離不變，點P在直線BC₁上運動，又△AD₁C的面積不變，因此三棱錐A-D₁PC的體積=$\frac{1}{3}rzfpxp7_{P}•{S}_{△A{D}_{1}C}$不變．
②點P在直線BC₁上運動，由①可知：直線BC₁上的點到平面AD₁C的距離不變，而AP的大小在改變，因此直線AP與平面ACD₁所成角的大小改變，故不正確．
③點P在直線BC₁上運動，由①可知：點P到平面AD₁C的距離不變，點P到AD₁的距離不變，可得二面角P-AD₁-C的大小不變，
正確；
④如圖所示，不妨設正方體的棱長為a，D（0，0，0），C₁（0，a，a），設P（x，y，0），∵|PD|=|PC₁|，則$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（y-a）^{2}+{a}^{2}}$，化為y=a，因此P的軌跡是過點B的直線，正確．
其中的真命題是①③④．
故選：B．

點評 本題考查了空間位置關系、三棱錐的體積、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．