Question

7．設(shè)G是一個非空集合，*是定義在G上的一個運算．如果同時滿足下述四個條件：
（�。�對于?a，b∈G，都有a*b∈G；
（ⅱ）對于?a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；
（iii）對于?a∈G，?e∈G，使得a*e=e*a=a；
（iv）對于?a∈G，?a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．
則稱G關(guān)于運算*構(gòu)成一個群．現(xiàn)給出下列集合和運算：
①G是整數(shù)集合，*為加法；②G是奇數(shù)集合，*為乘法；③G是平面向量集合，*為數(shù)量積運算；④G是非零復(fù)數(shù)集合，*為乘法．其中G關(guān)于運算*構(gòu)成群的序號是①④（將你認(rèn)為正確的序號都寫上）．

Answer 1

分析 逐一檢驗給出的集合與運算是否滿足運算*構(gòu)成群的定義中的兩個條件，把滿足運算*構(gòu)成群的定義的找出來．

解答 解：①若G是整數(shù)集合，則（i）兩個整數(shù)相加仍為整數(shù)；（ⅱ）整數(shù)加法滿足結(jié)合律；（ iii）?0∈G，?a∈G，則）0+a=a+0=a；（ iv）?a∈G，在整數(shù)集合中存在唯一一個b=-a，使a+（-a）=（-a）+a=0；故整數(shù)集合關(guān)于運算*構(gòu)成一個群；
②G是奇數(shù)集合，*為乘法，則e=1，不滿足（ iv）；
③G是平面向量集合，*為數(shù)量積運算，則不滿足（i）a*b∈G；
④G是非零復(fù)數(shù)集合，*為乘法，則（i）兩個非零復(fù)數(shù)相乘仍為非零復(fù)數(shù)；（ⅱ）非零復(fù)數(shù)相乘符合結(jié)合律；（ iii）?1∈G，?a∈G，則）1×a=a×1=a；（ iv）?a∈G，在G中存在唯一一個$\frac{1}{a}$，使$a×\frac{1}{a}=\frac{1}{a}×a=1$．
故答案為：①④．

點評 本題考查運算*構(gòu)成群的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．