如圖,正四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的正切值為數(shù)學(xué)公式
(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大小;
(2)若E是PB中點,求異面直線PD與AE所成角的正切值.

解:(1)連接AC、BD交于點O,連接PO,則PO⊥面ABCD,(1分)
∴∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角,∴tan∠PAO=.(2分)
設(shè)AB=1,則PO=AO•tan∠PAO==.(3分)
設(shè)F為AD中點,連FO、PF,
易知OF⊥AD,PF⊥AD,所以∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角.(4分)
在Rt△POF中,
∴∠PFO=60°,即側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為60°;(5分)
(2)連接EO,由于O為BD中點,E為PB中點,所以,EO
∴∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角.(6分)
在Rt△POD中,.∴.(7分)
由AO⊥BD,AO⊥PO可知AO⊥面PBD.所以,AO⊥EO(8分)
在Rt△AOE中,,
即異面直線PD與AE所成角的正切值為.(9分)
分析:(1)連接AC、BD交于點O,連接PO,則PO⊥面ABCD,則∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角,設(shè)AB=1,則可得則PO=AO•tan∠PAO
設(shè)F為AD中點,連FO、PF,易知OF⊥AD,PF⊥AD,所以∠PFO就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角,在Rt△POF中可求∠PFO
(2)容易證明EO.可得∠AEO就是異面直線PD與AE所成的角,在Rt△AOE中求解
點評:本題主要考查了直線與平面所成角及二面角的平面角的求解,解決問題(1)的關(guān)鍵是要找到與已知平面垂直的直線,從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線角,還要注意線面角的范圍:;解決問題(2)的關(guān)鍵是要尋求與已知異面直線平行的直線,從而把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角,其范圍:(0,
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