Question

如圖，已知點(diǎn)A（11，0），函數(shù)y=

x+1

的圖象上的動(dòng)點(diǎn)P在x軸上的射影為H，且點(diǎn)H在點(diǎn)A的左側(cè)．設(shè)|PH|=t，△APH的面積為f（t）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（t）的解析式及t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（t）的最大值．

Answer 1

分析：（ I）S_△APH=

1

2

PH×AH．其中AH=OA-OH，OH等于P的橫坐標(biāo)，P的縱坐標(biāo)即為|PH|=t，利用函數(shù)解析式可求OH．得出面積的表達(dá)式．
（ II）由（ I），面積為f(t)=

1

2

(12-t2)t，0＜t＜2

3

．利用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性，求出最值．

解答：解：（ I）由已知可得

x+1

=t，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t²-1，
因?yàn)辄c(diǎn)H在點(diǎn)A的左側(cè)，所以t²-1＜11，即-2

3

＜t＜2

3

．
由已知t＞0，所以0＜t＜2

3

，
所以AH=11-（t²-1）=12-t²，
所以△APH的面積為f(t)=

1

2

(12-t2)t，0＜t＜2

3

．
（ II）f′(t)=6-

3

2

t2=-

3

2

(t+2)(t-2)，
由f'（t）=0，得t=-2（舍），或t=2．
函數(shù)f（t）與f'（t）在定義域上的情況如右圖：
所以當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中有利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔題．