Question

5．如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AD，AB，DC，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁EF∥平面MNB₁D₁；
（2）二面角A-EF-A₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥MN，D₁M∥A₁F，由此能證明平面A₁EF∥平面MNB₁D₁．
（2）連結(jié)BD、AC，交于點(diǎn)O，AC∩EF=G，則∠A₁GA是二面角A-EF-A₁的平面角，由此能求出二面角A-EF-A₁的正切值．

解答 證明：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AD，AB，DC，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥MN，D₁M∥A₁F，
又A₁E∩EF=E，D₁M∩MN=M，
A₁E，EF?平面A₁EF，D₁M，MN?平面D₁MN，
∴平面A₁EF∥平面MNB₁D₁．
解：（2）連結(jié)BD、AC，交于點(diǎn)O，AC∩EF=G，
設(shè)正方體棱長為2，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AD，AB，DC，BC的中點(diǎn)，
∴AG=$\frac{1}{2}AO=\frac{1}{4}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AG⊥EF，A₁G⊥EF，
∴∠A₁GA是二面角A-EF-A₁的平面角，
∴tan∠A₁GA=$\frac{A{A}_{1}}{AG}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴二面角A-EF-A₁的正切值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．