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13.過雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線y=ax的垂線,垂足為A,交C的左支于B點(diǎn),若OF+OB=2OA,則C的離心率為( �。�
A.3B.2C.5D.7

分析OF+OB=2OA,可得A為FB的中點(diǎn),設(shè)F(c,0),由兩直線垂直的條件,可設(shè)直線BF的方程為y=-a(x-c),聯(lián)立直線y=ax,求得A的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B的坐標(biāo),代入雙曲線的方程,運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:由OF+OB=2OA,可得A為FB的中點(diǎn),
設(shè)F(c,0),由題意可得直線BF的斜率為-\frac{a},
直線BF的方程為y=-a(x-c),
聯(lián)立直線y=ax,解得交點(diǎn)A(a2c,abc),
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得B(2a2c-c,2abc),
代入雙曲線的方程可得2a2c22a2c2-4a2c2=1,
即(2a2-c22-4a4=a2c2,
化為c2=5a2,
由e=ca,可得e=5
故選:C.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.3B.3.5C.4D.4.5

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(1)求d的最大值;
(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)S,T兩點(diǎn),P為準(zhǔn)線l上一動點(diǎn).
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