Question

（文）一個(gè)函數(shù)f（x），如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“三角形函數(shù)”．
（1）判斷f₁（x）=

x

，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“三角形函數(shù)”，哪些不是，并說(shuō)明理由；
（2）如果g（x）是定義在R上的周期函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞），證明g（x）不是“三角形函數(shù)”；
（3）若函數(shù)F（x）=sinx，x∈（0，A），當(dāng)A＞

5π

6

時(shí)，F(xiàn)（x）不是“三角形函數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設(shè)a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)，即任意兩邊之和大于第三邊；
（2）要想一個(gè)函數(shù)不是“三角形函數(shù)”關(guān)鍵是根據(jù)題中條件g（x）是定義在R上的周期函數(shù)，且值域?yàn)椋?，+∞），舉出反例；
（3）當(dāng) A＞

5π

6

，取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但 sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，最后給出結(jié)論．

解答：解：（1）f₁（x），f₂（x）是“三角形函數(shù)”，f₃（x）不是“三角形函數(shù)”．
任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設(shè)a≤c，b≤c，
由于

a

+

b

＞

a+b

＞

c

＞0，所以f₁（x），f₂（x）是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于f₃（x），3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長(zhǎng)，故f₃（x）不是“保三角形函數(shù)”．
（2）設(shè)T＞0為g（x）的一個(gè)周期，由于其值域?yàn)椋?，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整數(shù) λ＞

n-m

T

，可知λT+m，λT+m，n這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)．
故g（x）不是“三角形函數(shù)”．
（3）當(dāng) A＞

5π

6

，
取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
但 sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，
故F（x）不是“三角形函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理、三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．要想判斷f（x）為“三角形函數(shù)”，要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的論證說(shuō)明f（x）滿足“三角形函數(shù)”的概念，但要判斷f（x）不為“三角形函數(shù)”，僅須要舉出一個(gè)反例即可．