14.已知$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$,$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$),$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$,且$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-1.
(1)若$\overrightarrow{OD}$=(cos$\frac{3π}{4}$,sin$\frac{3π}{4}$),且<$\overrightarrow{OD}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{π}{4}$,求$\overrightarrow{n}$;
(2)若$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{q}$=(1,0)夾角為$\frac{π}{2}$,△ABC的三內(nèi)角A,B,C中B=$\frac{π}{3}$,設(shè)$\overrightarrow{p}$=(cosA,2cos2$\frac{C}{2}$),求|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|的范圍.

分析 (1)利用向量的數(shù)量積運算、夾角公式即可得出,
(2)根據(jù)向量的模的計算和三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)性質(zhì)即可求答案.

解答 解:(1)$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$,$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$)=(1,1),
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{2}$,
設(shè)$\overrightarrow{n}$=(x,y),
∵$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$的夾角為$\frac{3π}{4}$,且$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=-1,
∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|•|$\overrightarrow{n}$|•cos$\frac{3π}{4}$=-1,x+y=-1
∴|$\overrightarrow{n}$|=1,
∴x2+y2=1
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=(-1,0),或$\overrightarrow{n}$=(0,-1)
∵$\overrightarrow{OD}$=(cos$\frac{3π}{4}$,sin$\frac{3π}{4}$)=(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
∴|$\overrightarrow{OD}$|=1,
∴cos<$\overrightarrow{OD}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OD}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
即-x+y=1,
∵x+y=-1,
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$,
∴$\overrightarrow{n}$=(-1,0),
(2)由|$\overrightarrow{n}$|=1,$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{q}$=(1,0)夾角為$\frac{π}{2}$,
∴$\overrightarrow{n}$=(0,-1),
∵$\overrightarrow{p}$=(cosA,2cos2$\frac{C}{2}$)=(cosA,1+cosC),
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|=(cosA,cosC)
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|2=cos2A+cos2C=$\frac{1}{2}$(1+cos2A)+$\frac{1}{2}$(1+cos2C)=1-$\frac{1}{2}$cos($\frac{2π}{3}$-2C),
∵C∈(0,$\frac{2π}{3}$),
∴($\frac{2π}{3}$-2C)∈(-$\frac{2π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),
∴cos($\frac{2π}{3}$-2C)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|2∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{4}$],
∴|$\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{p}$|∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{5}}{2}$].

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、夾角公式、倍角公式、和差化積、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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