【題目】在一條長36cm的直尺上刻劃n條刻度，使得用該尺能一次性度量中的任意整數(shù)cm的長度，試求n的最小值.

【答案】見解析

【解析】

如果該尺上刻劃7條（或不足7條）刻度，我們可證明達不到一次性度量[1,36]中的任意整數(shù)cm長度的要求.

事實上，7條刻度連同尺的兩條端線共9條，在這9條線中任取2條（每一種取法對應(yīng)一種度量長度）有36種不同的取法，即7條刻度至多只能度量36種不同的長度.

7條刻度把整個直尺分割成8段，若存在某兩段的長度相等，則此時度量的不同長度要小于36種，顯然達不到度量要求.

在7條刻度把直尺分割的8段中若沒有任何兩段長度相等，注意到1+2+3+4+5+6+7+8=36.易知此時長度為1cm,2cm,…,8cm各一段。

1 如果長度為1cm的段不在尺的一端，則不能度量35cm；

若長度為2cm的段不在尺的一端，則不能度量34cm.

2 如果長為1cm的段在尺的一端，長為2cm的段在尺的另一端，此時若長為3cm的段不與長為1cm的段相鄰，則不能度量32cm；

若長為3cm的段與長為1cm的段相鄰，則不能度量31cm.

由此可見，為達到度量要求，尺上的刻度數(shù)不少于8條.

8條刻度把支持分割為9段

9段的長度依次為1，2，3，7，7，7，4，4，1時

實施知可實現(xiàn)一次性度量[1,36]中的任意整數(shù)cm的長度.

故本題結(jié)論為：n的最小值為8.

即在一條長36cm的直尺上至少要刻劃8條刻度，才可能實現(xiàn)（上述給出的刻度分布為一種實現(xiàn)方法）用該尺一次性度量[1,36]中的任意整數(shù)cm的長度.

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