Question

15．已知在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．函數(shù)f（x）=sin（2x+B）+$\sqrt{3}$cos（2x+B），且y=f（x-$\frac{π}{3}$）為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若a=1，b=f（0），求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性求得B，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由條件求得b的值，再利用正弦定理求得sinA的值，可得A的值，從而求得C的值，再根據(jù)△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•ab•sinC 求得結(jié)果．

解答 解：（1）△ABC中，∵函數(shù)f（x）=sin（2x+B）+$\sqrt{3}$cos（2x+B）=2sin（2x+B+$\frac{π}{3}$），
且y=f（x-$\frac{π}{3}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+B+$\frac{π}{3}$）]=2sin（2x+B-$\frac{π}{3}$）為奇函數(shù)，
∴B-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，故B=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵a=1，b=f（0）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用正弦定理可得sinA=$\frac{a}$sinB=$\frac{1}{\sqrt{3}}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$•ab•sinC=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{3}$•1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的三角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．