【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1) 證明:PB∥平面AEC
(2) 設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積
【答案】
【解析】
試題(Ⅰ)連接BD交AC于O點(diǎn),連接EO,只要證明EO∥PB,即可證明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延長(zhǎng)AE至M連結(jié)DM,使得AM⊥DM,說(shuō)明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱錐E-ACD的體積
試題解析:(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO.
因?yàn)?/span>ABCD為矩形,所以O為BD的中點(diǎn).
又E為PD的中點(diǎn),所以EO∥PB.
因?yàn)?/span>EO平面AEC,PB平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,
所以AB,AD,AP兩兩垂直.
如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),,AD,AP的方向?yàn)?/span>x軸y軸z軸的正方向,||為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系Axyz,則D,E,=.
設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,,0),=(m,,0).
設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,
則即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量,
由題設(shè)易知|cos〈n1,n2〉|=,即
=,解得m=.
因?yàn)?/span>E為PD的中點(diǎn),所以三棱錐EACD的高為.三棱錐EACD的體積V=××××=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“科技引領(lǐng),布局未來(lái)”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007~2018年,某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元,我們將研發(fā)投入與經(jīng)營(yíng)投入的比值記為研發(fā)投入占營(yíng)收比,這12年間的研發(fā)投入(單位:十億元)用圖中的條形圖表示,研發(fā)投入占營(yíng)收比用圖中的折線圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖,下列結(jié)論正確的有( )
A.2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比2017年至2018年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量大
B.2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年研發(fā)投入增量小
C.該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入逐年增加
D.該企業(yè)連續(xù)12年來(lái)研發(fā)投入占營(yíng)收比逐年增加
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,個(gè)人收入的提高,自2019年1月1日起,個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整,調(diào)整如下:納稅人的工資、薪金所得,以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額,依照個(gè)人所得稅稅率表,調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表:
個(gè)人所得稅稅率表(調(diào)整前) | 個(gè)人所得稅稅率表(調(diào)整后) | ||||
免征額3500元 | 免征額5000元 | ||||
級(jí)數(shù) | 全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率(%) | 級(jí)數(shù) | 全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率(%) |
1 | 不超過(guò)1500元部分 | 3 | 1 | 不超過(guò)3000元部分 | 3 |
2 | 超過(guò)1500元至4500元的部分 | 10 | 2 | 超過(guò)3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超過(guò)4500元至9000元的部分 | 20 | 3 | 超過(guò)12000元至25000元的部分 | 20 |
… | … | … | … | … | … |
某稅務(wù)部門在某公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入,并制成下面的頻數(shù)分布表:
收入(元) | ||||||
人數(shù) | 30 | 40 | 10 | 8 | 7 | 5 |
(1)若某員工2月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí),請(qǐng)計(jì)算一下調(diào)整后該員工的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少?
(2)現(xiàn)從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人,再?gòu)闹羞x4人作為新納稅法知識(shí)宣講員,用表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù),表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù),設(shè)隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是等邊三角形, 是邊上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),記,.
(1)求的最大值;
(2)若,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐中,菱形所在的平面,是中點(diǎn),是上的點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點(diǎn),當(dāng)時(shí),是否存在點(diǎn),使直線與平面的所成角的正弦值為?若存在,請(qǐng)求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且.
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn).
(1)若,求的面積;
(2)過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線,且直線與直線相交于點(diǎn),問(wèn):點(diǎn)是否在某條定直線上?若在,求該定直線的方程;若不在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓離心率為,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓C交于P,Q均在第一象限,直線OP,OQ的斜率分別為,,且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).證明:直線l的斜率k為定值.
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