正三角形ABC在平面M內(nèi)的射影是△DEF, DE＝7厘米, EF＝5厘米, FD＝厘米, 則△ABC的邊長的平方為_______cm2.

答案：50
解析：

解: 如圖, 設(shè)正三角形的邊長為x, 并設(shè)AD＝a, BE＝b, CF＝c則由

AB2-(AD-BE)2＝DE2,

得    x2-(a-b)2＝49.        ①

同理  x2-(b-c)2＝25,        ②

x2-(a-c)2＝14.        ③

令    a-b＝u,   b-c＝v,   則    a-c＝u+v       

①￣③式化為

x2-u2＝49,       ④

x2-v2＝25,       ⑤

x2-(u+v)2＝14    ⑥

由④—⑤、⑤—⑥分別得到

v2-u2＝24,⑦   u2+2uv＝11.⑧

⑧×24-⑦×11, 得 35u2+48uv-11v2＝0,

即    (5u-v)(7u+11v)＝0    故    v＝5u,⑨

或    v＝-u.⑩

將⑨式代入⑦式, 得u2＝1, 再代入④式, 得x2＝50,

所以x＝5.

而將⑩式代入⑦式, 得u2＜0, 無實根. 所以本題有唯一解: 正三角形的

邊長是5厘米.


提示：

 用余弦定理

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(1)求證：GF⊥平面PBC；

(2)求證：EF⊥BC.

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