【題目】已知RtABC如圖(1),∠C90°,D.E分別是AC,AB的中點,將△ADE沿DE折起到PDE位置(即A點到P點位置)如圖(2)使∠PDC60°

1)求證:BCPC;

(2)若BC2CD4,求點D到平面PBE的距離.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)證明垂直平面中的兩條直線再證明平面即可.

(2)取取CD中點建立空間直角坐標系,再利用空間向量解決點到面的距離問題即可.

(1)證明:∵Rt△ABC如圖(1),∠C=90°,D.E分別是AC,AB的中點,

將△ADE沿DE折起到PDE位置(即A點到P點位置)如圖(2)使∠PDC=60°.

DEDC,DEPD,DEBC,

PDDCD,∴DE⊥平面PCD,∴BC⊥平面PCD,

PC平面PCD,∴BCPC.

(2)解:∵D.E分別是ACAB的中點,∠PDC=60°,BC=2CD=4,

CDPDPC=2,

CD中點O,BE中點M,連結PO,MO,則OP,OD,OM兩兩垂直,

O為原點,ODx軸,OMy軸,OPz軸,建立空間直角坐標系,

D(1,0,0),P(0,0,),B(﹣1,4,0),E(1,2,0),

(1,0,),(﹣1,4,),(1,2,),

設平面PBE的法向量x,y,z),

,取x=1,得(1,1,),

∴點D到平面PBE的距離為:

d

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