Question

設(shè)的所有排列的集合為；，記
，；求．（其中表示集合的元素個(gè)數(shù)）．

Answer 1

：我們一般地證明，若，對(duì)于前個(gè)正整數(shù)的所有排列構(gòu)成的集合，若，，則．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
當(dāng)時(shí)，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是
．又，，
，
，所以，=共有11=個(gè)元素．因此，時(shí)命題成立．假設(shè)命題在（）時(shí)成立；考慮命題在時(shí)的情況．對(duì)于的任一排列，恒取，得到的一個(gè)排列，
則．由歸納假設(shè)知，此時(shí)取遍區(qū)間
上所有整數(shù)．
再令，則，
再由歸納假設(shè)知，取遍區(qū)間
上的所有整數(shù)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823120500730776.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，取遍區(qū)間
上的所有整數(shù)．即命題對(duì)也成立．由數(shù)學(xué)歸納法知，命題成立．
由于 ，從而，集合
的元素個(gè)數(shù)為．特別是，當(dāng)時(shí)，．