Question

已知：平行六面體ABCD—A′B′C′D′所有對角線都相等.

求證：平行六面體ABCD—A′B′C′D′是長方體.

 

Answer 1

答案：
解析：

證明： ∵平行六面體的對角面是平行四邊形，又平行六面體ABCD—A′B′C′D′的對角線都相等. ∴四邊形BB′D′D是矩形，B′B⊥BD. 同理：四邊形AA′CC′是矩形. ∴A′A⊥AC ∵A′A∥B′B, ∴B′B⊥AC. ∵BD∩AC=O,∴B′B⊥面ABCD ∴平行六面體ABCD—A′B′C′D′是直平行六面體 同理：四邊形A′BCD′是矩形，四邊形AB′C′D是矩形， ∴BC⊥A′B，B′C′⊥AB′， 又∵B′C′∥BC ∴BC⊥AB′，且AB′∩A′B=O′ ∴BC⊥平面ABB′A，BC⊥AB ∴平行四邊形ABCD為矩形 綜上所述，平行六面體ABCD—A′B′C′D′是長方體.