Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a（a≠3），S_n+1=2S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）設(shè)b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a≠3時，=2
所以{b_n}為等比數(shù)列． （4分）
（2）b₁=S₁-3=a-3，（1分）b_n=（a-3）×2^n-1． （2分）
所以S_n-3ⁿ=（a-3）×2^n-1（3分）a_n=S_n-S_n-1，n≥2，n∈N^*； （6分）
（3）a_n+1≥a_n，，（2分）
a≥-9（5分）
所以a≥-9，且a≠3． （6分）
分析：（1）由已知中S_n+1=2S_n+3ⁿ，b_n=S_n-3ⁿ，n∈N^*，我們可以得到為定值2，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得到數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）中結(jié)論，我們易求出數(shù)列{b_n}的通項公式，進而得到S_n的表達式，進而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，n≥2，可以求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）根據(jù)數(shù)列a_n+1≥a_n，n∈N^*，我們可（2）中數(shù)列{a_n}的通項公式，構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可得到a的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是等比關(guān)系的確定，數(shù)列的函數(shù)特征，數(shù)列遞推式，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的定義，證得為定值，但要注意由限制首項不為0，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，n≥2求通項，要注意對n=1時的判斷；（3）的關(guān)鍵是根據(jù)（2）的結(jié)論，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，同樣要注意a₁＜a₂