【題目】在四棱錐中,四邊形為菱形,且,,分別為棱,的中點.

(1)求證:平面

(2)若平面,,求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)見證明(2)

【解析】

1)設(shè)的中點為,連接,,先證明,即證平面;(2)連接,,設(shè),連接,連接. 分別以,,軸,軸,軸的非負半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.再利用向量方法求平面與平面所成二面角的正弦值為.

(1)證明:設(shè)的中點為,連接,.

,分別是,的中點,

,且.

由已知得,且.

,且.

∴四邊形是平行四邊形.

.

平面,平面,

平面.

(2)連接,,設(shè),連接,連接.

設(shè)菱形的邊長為,由題設(shè)得,,

平面,分別以,,軸,軸,軸的非負半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

由題設(shè)得,,,,

,.

設(shè)是平面的法向量,

,化簡得,

,則.∴.

同理可求得平面的一個法向量.

.

∴平面與平面所成二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),其中

(Ⅰ)當(dāng)為偶函數(shù)時,求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求的取值范圍.

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【題目】2019年春節(jié)期間,我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:2010:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù),統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點,它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示,其中時間段9:20940記作區(qū)間,9:4010:00記作,10:0010:20記作,10:2010:40記作.比方:1004分,記作時刻64.

1)估計這600輛車在9:2010:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

2)為了對數(shù)據(jù)進行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機抽取4輛,記9:2010:00之間通過的車輛數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;

3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻服從正態(tài)分布,其中可用這600輛車在9:2010:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點,估計在9:4610:40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù):若,則,,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知橢圓的左焦點為,過點F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點,且

(1)求橢圓C的標準方程:

(2)若M,N為橢圓上異于點A的兩點,且直線的傾斜角互補,問直線MN的斜率是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.

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【題目】某輪船公司年初以200萬元購進一艘輪船,以每年40萬元的價格出租給海運公司.輪船公司負責(zé)輪船的維護,第一年維護費為4萬元,隨著輪船的使用與磨損,以后每年的維護費比上一年多2萬元,同時該輪船第年末可以以萬元的價格出售.

1)寫出輪船公司到第年末所得總利潤萬元關(guān)于的函數(shù)解析式,并求的最大值;

2)為使輪船公司年平均利潤最大,輪船公司應(yīng)在第幾年末出售輪船?

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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.

(1)求直線與平面所成角的正弦值;

(2)若點M,N分別在AB,PC上,且平面,試確定點M,N的位置.

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【題目】在平面立角坐標系中,過點的圓的圓心軸上,且與過原點傾斜角為的直線相切.

(1)求圓的標準方程;

(2)在直線上,過點作圓的切線、,切點分別為、,求經(jīng)過、、、四點的圓所過的定點的坐標.

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【題目】給定數(shù)列,若滿足,對于任意的n,,都有,則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”.

已知數(shù)列,的通項公式分別為,試判斷是不是“指數(shù)型數(shù)列”;

若數(shù)列滿足:,,判斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”,若是給出證明,若不是說明理由;

若數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”,且,證明:數(shù)列中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.

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【題目】“工資條里顯紅利,個稅新政人民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.201911日實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.

新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下:

舊個稅稅率表(個稅起征點3500)

新個稅稅率表(個稅起征點5000)

繳稅級數(shù)

每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點

稅率(%)

每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入-個稅起征點-專項附加扣除

稅率(%)

1

不超過1500元部分

3

不超過3000元部分

3

2

超過1500元至4500元部分

10

超過3000元至12000元部分

10

3

超過4500元至9000元的部分

20

超過12000元至25000元的部分

20

4

超過9000元至35000元的部分

25

超過25000元至35000元的部分

25

5

超過35000元至55000元部分

30

超過35000元至55000元部分

30

···

···

···

···

···

隨機抽取某市1000名同一收入層級的從業(yè)者的相關(guān)資料,經(jīng)統(tǒng)計分析,預(yù)估他們2019年的人均月收入24000.統(tǒng)計資料還表明,他們均符合住房專項扣除;同時,他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子,并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2:1:1:1;此外,他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標準為:住房1000/,子女教育每孩1000/,贍養(yǎng)老人2000/月等。

假設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除,將預(yù)估的該市該收入層級的從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想,解決如下問題:

1)設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者2019年月繳個稅為,的分布列和期望;

2)根據(jù)新舊個稅方案,估計從20191月開始,經(jīng)過多少個月,該市該收入層級的從業(yè)者各月少繳交的個稅之和就超過2019年的月收入?

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